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¿Cuánto puedo sembrar? # 37

Empatizo

Reconozco las situaciones y problemas de mi entorno

people working on building during daytime

Fotografía de Josué Isaí Ramos Figueroa 

Isabel está preparando la solicitud de compra de cemento para el edificio que están por fundir. Tiene que estimar cuánto cemento se usará para una fundición que mide tres metros de largo por dos metros de ancho y  un metro de alto. Tiene que estimar también cuánto cemento se usara para otra fundición que mide dos metros de largo por tres metros de ancho y un metro de alto. Ella quiere pedir antes el cemento para la fundición que ocupe más espacio. ¿Cuál de los dos requerirá más cemento?



¿Cómo determinar las dimensiones de una caja de volumen máximo con recursos limitados?

Investigo y aprendo

Ideas de lo que trataremos en este reto.

Preparando el pedido de Isabel, lo que en realidad se desea determinar es el volumen de cemento que se usará en cada una de las fundiciones. Para comprender mejor qué es el volumen recordamos el perímetro y el área viendo los siguientes videos:

En base a los videos anteriores, responde: ¿cuál es la diferencia entre perímetro y área?

 

El volumen es una magnitud que mide el espacio que ocupa un cuerpo en 3 dimensiones. Mira más sobre el volumen, te recomendamos que veas el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=n0j1XwaroHs.

Elabora una tabla en la que indiques qué unidades de medida se utilizan para representar volumen, área y perímetro. Puedes hacer un dibujo para representar cada medición.

 

 

Medición Unidad de medida Dibujo y explicación
Volumen  

 

 

 

 

Área

 

 

 

    
Perímetro  

 

 

 

 

 

Aparte de los conceptos geométricos descritos anteriormente. En este reto, también utilizaremos el concepto matemático de función. Si nunca has escuchado de este concepto, te invitamos a conocerlo a través de los siguientes enlaces:

Finalmente, piensa en ejemplos de la vida real en donde creas que podemos encontrar una función.

 

El reto a trabajar a continuación tiene como objetivo central comprender y calcular volúmenes y áreas de una manera práctica, esto es mediante la construcción de una caja. Así mismo, podremos determinar las dimensiones que debe tener una caja de volumen máximo si contamos con cierta restricción en su material de fabricación, esto logrado a través de la aplicación del concepto de función y su gráfica.

Produzco

Materiales

  • 2 Piezas de Cartón de 30 X 30 centímetros.
  • Tijeras.
  • Silicón frío o pegamento.
  • Regla.
  • Lápiz, sacapuntas y borrador.
  • Calculadora científica.

Ensayo

Experimento con materiales y retos sobre la situación

En este reto, vamos a replicar la situación de Isabel, pero para facilitar el trabajo utilizaremos cajas.

Primera parte - Optimizando Empíricamente:  

La primera parte del reto consiste en construir una caja sin tapadera pero que pueda contener la mayor cantidad de cemento posible; en otras palabras, debes intentar que tu caja tenga volumen máximo. Las únicas restricciones que debes tomar en cuenta son: (i) debes utilizar únicamente una pieza de cartón de 30 X 30 centímetros y (ii) la caja debe tener base cuadrada, es decir, el ancho y el largo deben tener la misma longitud.

  1. Una vez construida la caja, piensa, calcula y responde: ¿Cuánto material utilizaste para construir tu caja? ¿Cúal es el volumen de tu caja? Anota tu resultado y de igual manera, no olvides colocar las unidades de medida correctas.
  2. Compara el volumen de tu caja y la cantidad de material utilizado versus las construidas por tus compañeros y analiza: ¿A cuál caja le podríamos colocar la mayor cantidad de material? ¿Cuál caja contendrá la menor cantidad de material? ¿En cuál caja se utilizó más material para construirla? ¿En cuál caja se utilizó menos material?
  3. Finalmente, de todas las cajas construidas por el resto de grupos, seleccionen la caja de mayor volumen y reflexionen: ¿Se podrá construir otra caja que tenga mayor volumen a la actual usando la pieza de cartón de 30 X 30 centímetros? ¿Por qué?

Segunda parte - Optimizando Matemáticamente:

En la primera parte este reto, utilizamos “prueba y error” para buscar la caja de volumen máximo. ¿Existirá algún procedimiento que me permita encontrar las dimensiones de una caja de volumen máximo? La respuesta es sí y utilizaremos el concepto de función para poder resolver el problema directamente. ¿Has escuchado hablar del término optimización? Eso es justo lo que queremos, optimizar el volumen de la caja sujeto a la restricción de material que tenemos para construirla.  

 

Con el objeto de facilitar este proceso, estandarizaremos la construcción de la caja, de la siguiente manera:

  1. Cortar en cada esquina del cartón de 30 X 30 cm, un cuadrado de “x” cm de lado. Dependiendo del valor que le asignemos a la variable “x”, así se definirá el ancho, el largo y la altura de nuestra caja.

  2. Ahora, se efectúan dobleces en la parte punteada y se procede a pegar los bordes para construir la caja.
  3. ¡Listo! ya tenemos nuestra caja sin tapadera.

Analiza y contesta con tus palabras:

  • ¿Qué representa la variable x? ¿Cuál es el valor máximo y mínimo que puede tomar dicha variable x?
  • Te recomendamos que construyas una caja con los pasos previos para entender a fondo la situación. Asume que x = 10 cm, ¿cuál es el ancho, el largo y la altura de la caja? y ¿cuál es el volumen de la caja?
  • Ahora, repite el procedimiento anterior pero con la variable x. ¿cuál es el ancho, el largo y la altura de la caja? y ¿cuál es el volumen V de la caja? Nota que ahora tienes el volumen V de la caja como una función de la variable x, esto es V=V(x). En palabras sencillas, si x = 10 cm, el volumen de la caja será de 1000 cm^3. ¿Cómo se calculó el volumen de manera tan sencilla? muy fácil, “cambiando” las x de la función por 10 y listo. Formalmente, el volumen se calculó evaluando la función en 10, esto es V=V(10).  ¿Y cómo calculo rápidamente el volumen si x es igual a 3 cm o 5 cm o 7 cm?
  • Ahora si, respondamos a la pregunta: ¿qué dimensiones debe tener la caja para que su volumen sea máximo? En otras palabras: ¿cuánto debe medir aproximadamente x para obtener el volumen máximo?

Ayuda: Utiliza la función V(x) y su gráfica para responder a las preguntas anteriores. Compara tu resultado con el que obtuviste en la primera parte de este reto. Reflexiona: ¿son únicas las dimensiones de la caja de volumen máximo que puedes construir con la plancha de cartón de 30 X 30 cm? ¿qué pasa si aumentamos ligeramente el valor del corte x ? ¿y si lo disminuimos?

 

Para conocer más

Aplico en mi comunidad

  • Supón que trabajas en la construcción y que necesitas ordenar material, ¿Pedirías metros cuadrados o  metros cúbicos de piedrín? ¿Darías las dimensiones de una habitación en metros cuadrados o en metros cúbicos?
  • En general, ¿en qué situaciones de tu vida te has visto en la necesidad de calcular perímetros, áreas y volúmenes?
  • Piensa en por qué hoy decidiste tomar cierta ruta para ir de tu casa a la escuela (o al trabajo). ¡Exacto! tomaste dicha ruta para ahorrar tiempo o bien para evitar el tránsito. En nuestra vida, inconscientemente, estamos optimizando en cada decisión que tomamos. Piensa en ejemplos de optimización en aspectos concretos de tu vida cotidiana, ¿por qué optimizar?
  • ¿Por qué es tan importante para las escuelas, hospitales, clínicas, empresas y negocios optimizar? Brinda ejemplos de optimización dentro de las empresas y negocios.
  • En los periódicos aparecen mucha gráficas interesantes, ¿Por qué utilizan gráficas? ¿En dónde más las has visto o utilizado?

Verifiquemos lo aprendido

Estos son los aprendizajes que tendremos al completar el reto.

Aspecto a aprender No Logro Logro Parcial Logro Total Competencias
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